密度矩阵重整化群 DMRG

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1. 密度矩阵回顾

1.1 纯态和混态

纯态：用希尔伯特空间的一个矢量描写。

两个纯态和通过叠加可以得到另一个状态 :

这个态是一种全新的态，相干叠加态，也是一个纯态。

对于纯态，不存在系统处于某个态的概率是多少!

混态：系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处于 , , 等各个态中，分别有概率 , , , 这种状态无法用一个确定的态矢量来表示。

只能用这种方法来表示这个态：

对于混态，可以说系统处于某个态的概率是多少!

从统计规律性的角度来看，由纯态所描写的统计系统称为纯粹系综；而由混态所描写的系综是混态系综。

1.2 密度算符和密度矩阵

1.2.1 密度算符

我们希望找到一个单一的量去描述混态，这个量就是密度算符。

先从纯态开始，以前我们都是用希尔伯特空间中的一个态矢来描写状态 . 现在，从求一个物理量的平均值开始，设法找出另一种描写纯态的量。在状态中的平均值可以写成

取一组基矢 , 并利用其完备性关系 , 有

其中 , 称为密度算符。进一步看物理量在状态中取值的概率 :

这个概率是密度算符在本征态中的平均值。综上，对一个纯态给出的信息，都可以用对应的密度算符给出。因此，密度算符是可以完全替代态矢量来描写纯态的另一种数学量！

现在求物理量在混态中的平均值。在混态中，一个物理量求平均值要通过两次手续：第一次是量子力学的平均，求出在每一个中的平均值；第二次是统计物理的平均，求出各量子平均以不同概率出现的平均，即

同样，利用完备性关系，上式变为

其中称为混态的密度算符。同样，混态中物理量取值的概率应为量子力学和统计物理的乘积之和

由上，我们可以看到，由密度算符代表的状态来计算纯态和混态的期望值与概率的表达式完全一样。因此，我们找到了这个量去描写混态！相对于用态矢，更加方便。

1.2.2 密度算符的性质

首先，它是厄米的。利用在任意表象中的矩阵来证明。

其次，对于密度算符的迹，有

1.2.3 约化密度矩阵

对于一个大系统，而希望求平均值的那个物理量只与系统的一部分有关。例如，对于两粒子构成的系统，希望求粒子的某一物理量的平均值。这时，上述内容可以简化。

设粒子和各有一组基矢和，则在粒子和子空间的直积空间中，系统的态矢的一般形式为

处于纯态时，系统的密度算符是

其中是粒子1的指标，是粒子2的指标。对应的密度矩阵元 . 现在求粒子的某一物理量的平均值

由于只作用在粒子的子空间上，所以

其中称为描述粒子的约化密度算符，它在粒子的某一表象中的矩阵称为描述粒子的约化密度矩阵，由上面推导可知

这一表示与粒子完全无关，是一个只在粒子的空间中间关系。

2. 问题

在求解量子多体系统的张量网络系列算法中，我们会遇到这样一个问题:

给定一个求和形式的算符，如何计算对应的矩阵乘积分解（matrix product factorization）？

在变分矩阵乘积态/密度矩阵重整化群（DMRG）算法中，我们需要用到哈密顿量对应的矩阵乘积算符（Matrix product operator, MPO）

3. MPO构建 — 用有限状态自动机生成矩阵乘积算符

有限状态自动机（Finite automata，FA）是一种计算数学模型，可以看作一种受限的图灵机。

借助 FA 的概念，我们可以直接写出平移对称系统的 MPO。规则是

1. 在初始 / 终末节点建立一条通过单位元直接回到自己的路径（标志着平移对称性）；

2. 对于平移对称单元内求和的每一项，建立一条从初始节点到终末节点的路径。

下面通过例子来阐明这一过程。

Example 1: Infinite TFI chain

对应的FA是（省略系数）

用有限状态自动机的语言来说，以上 FA 只接受

有且仅有两个 Z 或有且仅有一个 X （其它全是 identity）的指令序列。

根据

节点=指标，边指令=矩阵元

可以写出 TFI chain 的 MPO 为

实际上，把该 FA 展开成重复的平移单元

得到有限大小的有向图。

Example 2: Infinite ANNNI Model

对应的 FA 可以是（省略了系数）

对应的 MPO 为

展开成重复的平移单元为

从上图的两端可以看出

在有超过最近邻相互作用的情况下， MPO 两端的 bond dimension 可能会逐渐地减小（而不是直接取行向量 / 列向量）。

Example 3: Infinite XX model

对应的 FA 可以是（省略了系数）

对应的 MPO 为

实际上，把该 FA 展开成重复的平移单元

这样每个 MPO 记为可以写成 (python)，其中为虚拟指标, 为物理指标