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想法
对于基态
自旋模型：twofold 二重简并
费米子模型：unique
希尔伯特空间确实缩小了？
配分函数
精确解
自旋表象的哈密顿量为
为了方便起见我们需要进行坐标变换
于是变换后的哈密顿量
升降算符变换
为了求解模型，我们首先引入升降算符：
此时泡利自旋算符可以表示为：
或者
哈密顿量则为：
这些算符在某种程度上类似于费米子算符，因为它们满足：
同时，它们在某种程度上也类似于玻色子算符，因为它们满足：
因此，无法直接使用正则变换（canonical transformation）来对角化式中的二次型。因为 和 的主轴变换（principal axis transformation）不能保持上述混合的正则关系。
Jordan-Wigner 变换
不过，可以转到一组新的变量，这组变量是标准的费米子算符，在这些新变量下，哈密顿量的形式仍然很简单，这种新的变换即为Jordan-Wigner 变换，定义
其中 ， 被称为无序项或孤子项（soliton term），它引入了一个额外的负号，从而将不同位置上的对易子转换为反对易子。这个项本身是一个幺正算符，它将第 位格点左侧所有的自旋态绕 轴旋转 角度（除了一个整体相位因子）。反变换为
于是有
这些 和 是费米子算符，满足：
由于 是占据数算符，它的取值只能是 或 ，所以有：
此外，对于 ，可以推得：
因此原哈密顿量在开放边界（free ends）下的费米子表象中的形式为
对于周期性边界条件（cyclic chain），我们还需要考虑：
以及
其中 表示系统中的总粒子数。因此哈密顿量为
其中边界项修正依赖于总粒子数的奇偶性：当粒子数为偶数时, （反周期边界条件）；当粒子数为奇数时，（周期边界条件）. 也就是说，在费米子算符 和 的表述下，哈密顿量不再具有简单的周期性结构。对于足够大的系统，我们可以忽略与 成正比的修正项，在这种情况下，我们称之为c-cyclic 问题（而原始问题被称为a-cyclic 问题）。实际上，即使是 a-cyclic 问题也并不难以精确求解，但我们首先将考虑较为简单的 c-cyclic 情形。
Bogoliubov transformation
未完待续。。。
- Author:Leoy
- URL:https://www.leoy.uk/article/1cbdf97d-388e-808e-aeea-f99cafb57d1a
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